「怒ると同時に悲しい気持ちになった」という使い方であれば、at the same time と言います。
例：
I was so angry yet at the same time it made me sad.
I was angry and sad at the same time.
Simultaneouslyという単語も「同時に」という意味です。
I was simultaneously feeling angry and sad.（同時に怒りと悲しみを感じた）
I was laughing and crying simultaneously. （同時に笑って泣いてた）
どうぞご参考に。
前のアンカーの方が回答してらっしゃるように、
at the same time
と言います(*^_^*)
私の方からは、いくつか例文を足しておきます(*^_^*)
例）
I can't love two men at the same time.
「同時に2人の人を好きにはなれません」
I can't do two things at the same time.
「同時に２つのことはできないです」
以上です。
少しでも参考になれば幸いです(*^_^*)
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