目が腫れぼったいという時の腫れぼったいは puffy や swollen を使って言います。これは寝不足の時だけでなく泣いた後などの腫れぼったい目にも使えます。
My eyes are puffy from not getting enough sleep.
「寝不足で目が腫れぼったい。」
not getting enough sleep で「十分な睡眠をとっていない」だから「寝不足」と言えます。
My eyes are all swollen because I haven't had enough sleep.
「寝不足で目が腫れぼったい。」
I haven't had enough sleep.「十分な睡眠をとっていません。」
My eyes are all swollen because I cried myself to sleep last night.
「昨夜泣きながら寝たせいで、目が腫れぼったい。」
ご参考まで!