こういう意味で（罪について）「裏付ける」は provide evidence で言えばいいと思います。
「罪を裏付ける証拠」というのは proof that provides evidence of a crime で表現できます。
例文 Provide evidence in a court.
「裁判で裏付ける。」
この言い方は法律的なことに対して適切なフレーズになると思います。
参考になれば幸いです。
back upには「支持する、支える」という意味から「～を裏付ける、証拠立てる」という意味でも使われます。
evidence =「証拠」
evidence to back up the crime＝「その犯罪を裏付ける証拠」
They have no evidence to back up the crime.
「彼らはその犯罪を裏付けるための証拠を何も持っていない」
ご参考まで
オーストラリア 
日本 
