認可って英語でなんて言うの？

認可されたことは「Approved」と言います。
認可自体は「Approve」と言う動詞です。

質問者様のシチュエーションなら、次のように言います：
- I am looking for an approved nursery（認可された保育園を探しています）

他にも「認可」を使用した例文を挙げてみました：
- We are trying to get the building approved by the authorities（建物を当局に認可してもらうよう努力しています）
- Without approval, we cannot build this facility （認可無しではこの施設を建てることはできません）

Authorization 認可

With the correct authorization, you are allowed to do a set amount of actions and activities under that authority, without it you could be in a lot of trouble for not only breaking the rules, but breaking the law in some serious cases.

正しい許可(認可)があれば、その権限の下で、あらゆる事柄が守られます。認可というものがなければ、ルールを破るだけでなく、いくつかの深刻なケースで法律を破ることにより、多くのトラブルに巻き込まれる可能性があります。