いちゃつくって英語でなんて言うの？

カップルなどが「いちゃつく」ことは英語で "flirt" と言います。

例文：
This couple was flirting on the train yesterday too. 「このカップルは昨日も電車の中でいちゃついていた。」
They aren't actually in a relationship, they are just flirting all the time. 「彼らは付き合っているわけじゃなく、いちゃついているだけだ。」

ご参考になれば幸いです。

「いちゃつく」にもいろいろなニュアンスや程度がると思いますが、たとえば flirt はよく使われる英語表現です。

flirt と言うと、「好きだよアピール」をするようないちゃいちゃのイメージです。

例：
She started flirting with Kevin right in front of us.
私たちの目の前で、彼女はケビンといちゃつきはじめました。

お役に立てればうれしいです。

最初の言い方being all lovey doveyはずっといちゃついてる意味として使いました。恋に夢中する人々に対して使用しているので、一番直接というかストレートな言い方です。

二つ目の言い方public displays of affectionは、人の前に愛する人に愛情を示すというニュアンスを伝えています。つまり、人の前でも恋人の手を繋ぐことしたりハグしたりキスしたりします。

そしてPDAはpublic displays of affectionの略語です。友達と会話する時のカジュアルな言い方です。

「いちゃついているカップルがいました。」
頂いた文書の翻訳の例文は下記になっています。
There was a couple being all lovey dovey.
There was a couple doing a lot of PDA.

ご参考になれたら幸いです！