「生さぬ仲」という概念自体を訳すと、「not related by blood」（血の繋がりがない）そのままになります。
生さぬ仲の親子関係だと、文脈によって言い方が変わります。
もし生さぬ仲の親子関係は法律上なら、
子供は「adopted child」（養子）と言い、
親は「adoptive parent」（養親）と言います。
もし生さぬ仲の親子関係が法律に関係がないなら、
様々な割と曖昧な言い方があります。
例えば、
He is like a father to me → 彼は私にとって父のようだ
She is like a daughter to me → 彼女は私にとって娘のようだ
一般的に血の繋がっていないのに家族のように仲が良い人たちについて言いますと、
「family by choice」（選択による家族）という言葉もあります。
ドラマの話だと、文脈によってどのような言葉が正確かはもちろん変わりますが、
以上の三つの提案は全てよく使われます。
参考になれば幸いです。
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