ご質問ありがとうございました。
「蔵開き」は英語の簡単な単語はないんですが、「First opening of warehouse after New Year 」で説明したらいいと思います。
細かく説明したら、「Places of business will have a special first opening of their warehouse after the New Year in order to pray for a prosperous year. Often this will happen on the 11th of January.」がいいと思います。
「鏡開き」は英語で言うとそのままの「Kagami-biraki」でもいいと思いますよ。
「Kagami-biraki is the tradition of breaking open a sake cask at weddings」とか
「Kagami-biraki is the tradition of cutting rice cakes on New Years Day」と言う風に説明したらいいと思います。
役に立てば幸いです。