「山小屋」は
hut
mountain lodge
と言います。
例：
When I climbed Mt. Fuji, I started my ascent around lunch time and I made it to a hut part way up the mountain later that afternoon. I had a good rest there before continuing the climb later that night.
「富士山に登った時、お昼頃に登り始め、夕方に途中の山小屋に到着した。そこでゆっくり休んで、夜遅くにまた登り始めた。」
climb Mt. XX で「XX山に登る」
start one's ascent で「登り始める」
part way up で「（登山の）途中で」
have a good rest で「ゆっくり休む」
ご参考まで！
「山小屋」を英語で表現する際には、"mountain hut" または "mountain lodge" と言います。
あなたが共有したい具体的な状況を英語で表現すると以下のようになります。
"I started climbing Mount Fuji around noon, reached a mountain hut by the evening, took some rest there and then started climbing again in the middle of the night."
以下の単語とフレーズが参考になるかと思います。
- Climb Mount Fuji: 「富士山に登る」
- Start climbing: 「登り始める」
- Mountain hut: 「山小屋」
- Around noon: 「昼頃」
- By the evening: 「夕方までに」
- Take some rest: 「休む」
- Started climbing again: 「再び登り始める」
- In the middle of the night: 「夜中に」
カナダ 
アメリカ合衆国 
