"Time is up"は「時間切れ」を意味する表現で、一般的に試験やゲームの時間制限が終了した時に使います。このフレーズは主に英語圏でよく使われる表現です。つまり、「時間切れになるまで全問解答できなかった」という状況をしっかりと表現できます。
一方、"Running out of time"も「時間がなくなっていく」、「時間が迫っている」を意味しますので、「時間切れ直前」または「時間が残り少ない」という意味合いで使われます。こちらのフレーズは、「まだ時間が少しは残っているが、それがすぐになくなりそうだ」というニュアンスを強調しています。
これらのフレーズ以外にも"Out of time"という表現もあります。これも同様に「時間切れ」を意味しますが、軽度の催促や強調といった新たな感情を導入するために使われます。
例文としては、「I was answering the TOEIC questions but I ran out of time (TOEICの問題に答えていたが時間切れになってしまった)」のように使うことができます。
学校の先生などがテスト終了時に言う「時間切れです」は"Time is up."です。
ただ、テストが全部解き終えられなかったことを言う場合は、
I took a TOEIC test but I couldn't finish it. 「TOEICテストを受けたけど全て解き終えられなかった。」のような文がいいと思います。