勝ち進むって英語でなんて言うの？

「地元のチームが勝ち進んでいる」は英語で「The local team is advancing．」という意味があります。
地元ーLocal・Local area
地元のチームーLocal team
勝ち進むーTo win and advance to the next round・To win one's way through a tournament
単に「To advance」（トーナメントで）
（直訳に「To win and advance」です。）

訳
「彼らは勝ち進んでいます」
「彼らはトーナメントで勝ち進んでいます」

"Advancing" は「前進する、進む」という意味で、スポーツの試合やトーナメントで「勝ち進む」ことを表現するのに適しています。また、"moving forward" も同様に使えますが、文脈を明確にするために "in the tournament" と加えるとよいでしょう。

他の言い方としては：
- "They are making their way through the tournament."（彼らはトーナメントを勝ち進んでいます）
- "They are progressing in the competition."（彼らは大会で進んでいます）