ご質問ありがとうございます。
この話では講師は英語の先生ですかね?私は先生から自己紹介するのが普通だと思います(正しい紹介方法を見せるため)が、講師によって違いますので、具体的に答えにくいです。
そして、もし講師が「どちらが先に自己紹介しますか?」を英語で言ったら、Kingfisher様が聴き間違えた可能性がありますか?英語では自己紹介する前にWhere should I begin?とかI wonder where to start.などの表現を使います。その表現はどうやって自己紹介しようかを考えている間に使います。相手に質問しているわけではありません。
ご参考になれば幸いです。