回答
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an exam for a teacher recruitment
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a teacher recruitment exam
recruitmentという単語が採用という単語になりますので、それにexaminationを略したexamを使用すればいいでしょう。
例文:
"I'm studying for a teacher recruitment exam."
「私は教員採用試験のために勉強しています。」
回答
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teacher employment exams
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teacher's exams
色んな言い方がありますが、上記2つをあげました。
一つ目は、教師雇用試験。
employmentは雇用、採用のことです。
二つ目はそのまま、教師(になるため)の試験です。
examは普通、複数形で使われることが多いです。