粘り強いって英語でなんて言うの？

一番合うのは、perseverantだと思いますが、場合によってはpatientでもいいと思います。
perseverantは心が折れない感じで、patientは我慢強い感じです。

perseverantは、失敗してもまた挑戦し続けるような強さがあり、patientは例えば、誰かに悪口を言われてもぐっと耐える感じです。

例：
It's important to be perseverant if you want to improve.
上達したいなら粘り強くある必要があります。

例を挙げると、仕事で交渉するときに、相手に失礼なことを言われたりされたりしても、怒ったりせずに交渉し続けるのがpatientな感じです。
状況が悪くなっても、「もうだめだ」と簡単に投げ出すのではなく、いろいろ違う方法を考えて頑張りぬくのがperseverantかと思います。

日本語は「形容詞」で表現する言語ですが、
英語では「動詞」で表現する方がオススメです。

諦めない、とおっしゃっていますので
He never gives up.
彼は諦めない（≒粘り強い）
というのはいかがでしょうか？

粘り強いはpersistentです。He is persistent. 彼は、粘り強い。根気強い。

他の先生方とかぶらないところで考えました。

tenacious は、「粘り強い」「頑固、執拗な」と言う意味の形容詞です。
He is tenacious .
「彼は粘り強い」

He is a tenacious negotiator.
「彼は粘り強い交渉人だ。」
というふうに、その人の性質として「粘り強い」と表せます。

そして、tenaciously 「粘り強く」と副詞にすると、
He kept working tenaciously.
「彼は粘り強く働き続けた。」というふうに何を粘り強くやったのか、ということも表せます。

ご参考になれば幸いです。