敷金は「deposit」になります。礼金は「gratuity fee」といいます。他の国は分からないのですが、アメリカはアパートを借りる時に礼金を払う仕組みはないと思います。(私自身は聞いたことがないです。)
例:
In Japan, you have to pay a deposit and a gratuity fee when renting an apartment.
日本では、アパートを借りる時に敷金と礼金が必要です。
賃貸探しなどに役立つ単語を他にいくつかリストアップします。
契約解除=cancellation of contract
解約金=cancellation fee
家賃=rent
面積=area size
間取り=layout
ちなみに、「マンション」という言葉は日本語と英語では別の意味を持ちます。英語で「mansion」と言えば、有名人が住んでいそうな高くて大きい家が思い浮かびます。日本のいわゆる「マンション」は英語で「large apartment」が適切だと思います。