トーマス・カーライル（19世紀イギリスの歴史家・評論家）の言葉を引用すると、
「A man's walking is a succession of falls.」
といった、ぴったりな表現があります。
こちらが、「七転び八起き」の訳として最も使われているものかもしれません。
しかし、「失敗しても起き上がって頑張り続ける」ことは、人生において非常に普遍的テーマであり、
上記の他にも、似たような表現がいっぱいあります。
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When life gives you lemons, make lemonade.
酸っぱいレモンからは、レモネードという甘い飲み物が作れるので、
「どんな辛いことには、ポジティブな面がある。頑張れ！」ということですね。
Failure is the stepping stone to success.
「失敗は成功の元。」挫けずに、挑戦し続けるべき。
The flower that blooms in adversity is the rarest and most beautiful of all.
「逆境の中で咲く花は、どの花よりも貴重で美しい。」
こちらは、ウォルトディズニーの名言になります。
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「get back up 」= 「get up (起き上がる）」+「back (元に）」。
つまり、「もう一度起き上がる」という意味。
「anyhow」＝「いかなる方法でも、どのようにしても、とにかく」
「If I get knocked down, I will get up back anyhow.」
→ 直訳：もしノックダウンされても、どうやってでもまた起き上がります。
何回ダウンしても屈しないという「七転び八起き感」を出してみましたが、
日本語そのままだと、
「Fall seven times, stand up eight (times).」
→ 七回倒れて、八回起きる。
と表現することもできますね^^
If at first you don't succeed, try, try again.
〔訳〕たとえ、はじめはうまくいかなくても何度も何度も挑戦しろ。
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If at first you don't succeed
〔訳〕たとえ、はじめはうまくいかなくても
try, try again
〔訳〕何度も何度も挑戦しろ
英語のことわざです。
私でも知っていたので、そこそこ有名だと思います。
「失敗しても諦めず挑戦し続けなさい」、みたいな感じです。
参考にしてください、
ありがとうございました。
He that falls today may rise tomorrow.
今日転ぶ人は明日起き上がるかもしれない。（今日失敗する人は明日成功するかもしれない。）
何回失敗しても諦めなければ次は成功するかもしれない。という意味です。
なんだかドリカムの歌詞を思い出しますね！
fall = 転ぶ、落ちる
rise = （起き）上がる
Never give up.
と答えようかと思ったら、既におっちゃんぬさんに先取りされてましたので
別の表現を考えてみました。
Don't let mistakes make you give up.
失敗したくらいであきらめちゃダメだ！
ちょっと複雑なので、かなり意訳した訳をつけてあります。
まず、失敗をすることによって諦めてしまうのは、
「失敗があなたを諦めさせる」と考えて
make you give up
のように言えます。
そして、失敗にそんなことをさせてはいけない、
ということで、
Don't let...
がくっついています。
全部つなげると、以下のようになります。
Don't let mistakes...
失敗にさせてはいけない
make you give up.
あなたを諦めさせることを
七転び八起きの意味は、「どれだけ失敗してもあきらめないで立ち上がること」で、それをご指定のカジュアルな英語にすると never giving up がよく合うのではないかと思いました。
この表現の意味は「決してあきらめないこと」です。give up を動名詞にし、そこに「決してない」を意味する never を付けたものです。
この表現を使って例文も作ってみました。
She achieved her goal by never giving up. 「彼女は決してあきらめないことで、目標を達成した」
この和訳に「七転び八起き」を使うと、「彼女は七転び八起きの精神で目標を達成した」ということができます。
ご参考になりましたでしょうか。
アメリカ合衆国 
日本 
