②You will be able to study without any restriction.
★【日本語変換術】『勉強がのびのびできるようになる』→なんの束縛もなく/何の心配もなく勉強ができるようになる。
※広いスペースで、両手を横にのびのびと伸ばしてみましょう。ここまでしか伸ばしちゃだめという制限＝restrictionや、ここまで伸ばしたらどこかにぶつかるという心配＝worryがありませんね。
※日本語は曖昧な表現をするため、一単語の訳にとらわれず、『日本語変換術』を使ったり、全体の意味をとらえるようにすると違う角度から見えてきますね☺
※①without any worries は、例えば、テストの結果だけを気にしたり心配したりしないで、自分がやりたい勉強ができる、などの状況にピッタリ。
②without any restriction は、『制限』という単語を使ったので、例えば、兄弟と一緒の部屋からひとり部屋になると、うるさくて勉強できない、などの制限がなくなりのびのび勉強できる、などの状況にピッタリ。
例文
「You can paint without any restrictions in art class.」
（美術のクラスでは制約なく絵を描くことができます）
参考にしていただけますと幸いです☺
in a relaxed wayは「のんびりと、リラックスしながら、落ち着いて、あまりプレッシャーを感じずに」などの意味で使えます。
質問者さんの求めている表現とはちょっと違うのかもしれませんが、
近い意味であることは間違いないですし、
知っていたら得な表現だとは思いますので、一応参考までに挙げさせていただきます(^^)
「のびのび」には「邪魔されないで」という意味もあるので、そこから発展させて英語にしてみました。
★ 訳
「私は自分がしたいだけ勉強ができるでしょう」
★ 解説
as much as 〜 は「〜と同じくらいたくさん」という意味です。同等比較や原級を用いた比較と言われます。
この英文を分析すると、「私はできるでしょう」＋「同じくらいの量」＋私が勉強したい」という構造です。つまり、自分がしたいだけの量の勉強が邪魔されずにできるということですね。
このように考えると、「生き生き」といったニュアンスも同時に表されるのではないかと思います。
なお、最後が to で終わっているのは、as much as I want to study となるべきところを、同じ単語の繰り返しを避けるために to（文法では代不定詞と言われます）だけで終えているんですね。
ご参考になりましたでしょうか。
日本 
