"a shop with a long history" とも言えますが history をいうと 「歴史」より「経歴」と勘違いすることもあります。「長い間商売し続けている」だけじゃなく「歴史的な事件に関わったことがある」という意味もあります。
単純に「長い間商売し続けている」を表すには a shop that has been around a long time を使います。
「老舗」はSHINOがおっしゃっているように
have(has) a long histroyとか、
a shop with a long historyと言えば十分です。
「有名な、評判の良い」というニュアンスも
伝えたいのなら、famous, have(has) a reputation
（知られている）を付け加えて言えば良いですね。
特に英語を話す時は、なるべく簡単な英語で話す方が
会話がスムーズにすすみます。
参考になれば幸いです。
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