どのくらい病んでいたり、良くなかったりという程度にもよりますが、
lose mental stability は「[精神](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/53130/)が[不安定](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/55109/)になる」という感じで、この程度がいいと思います。
mentally ill はもう少し深刻で、またこれは「精神異常」の意味もあるので気をつけて使う必要があります。
例：
I think I am losing my mental stability.
私は精神が不安定になり始めていると思います。
[感傷的](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/71648/)な曲のことを emo music と言い、emo music を好んで聞く人をemo と呼んだりします。
また、[情緒不安定になっている人](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/5713/)や大げさに傷つきやすい人のことも emoと言ったりします。
例
What's wrong with him?
（彼、どうしちゃったの？）
He's just being emo.
（感傷的になってるだけだよ）
参考になれば幸いです。
おっしゃられている内容は、以下のようにも表現できると思いました(*^_^*)
She is mentally unstable.
「彼女は精神的に不安定だ」
She has emotional ups and downs.
「彼女は感情の浮き沈みがある/感情の起伏が激しい」
以上です。
少しでも参考になれば幸いです(*^_^*)
日本 
アメリカ合衆国 
