飛び出すって英語でなんて言うの？

A boy jumped out of the elevator.
男の子は、エレベーターから飛び出した。

A boy rushed out of the elevator.
男の子は、エレベーターから急いで出た。

A boy ran out of the elevator.
男の子は、エレベーターから走り出た。
※ran（走った）はrun（走る）の過去形です。

と、このように様々な表現で表す事が出来ます。
もちろんこの文章ですと、

A boy stomped out of the elevator.
男の子は、エレベーターから（怒った様子で）ズカズカと出た。

と言った様に、飛び出す以外の表現に差し替える事もできます。
※『stomped out』は『足を踏み鳴らして出て行った』と言う意味です。
　また漫画などで地面を足で『ドン！ドン！ドン！』と鳴らした時は
　『STOMP! STOMP! STOMP!』と表現されます。

状況次第では別の表現もあると思いますが、今回はjump out がいいかなと思いました。

A kid jumped out from the elevator as soon as the door opened,
【訳】エレベーターのドアが開いた途端、子供が飛び出してきた。

似たような表現で pop out が使えるときもあります。
popはポップコーンだったり、パソコンのポップアップウィンドウなどで聞くように、ポッと弾けたり、突然パッと出てくる感じです。

エレベーターのようにある狭い場所から飛び出すことは次のような表現が使えます。
ーto jump out of ...
ーto step out of ...

例：
As soon as the doors opened on the elevator I was waiting for, a little boy jumped out and almost ran into me.
「乗ろうと待っていたエレベーターのドアが開いた瞬間に、少年が飛び出してきてぶつかりそうになった」

ご参考まで！