この文脈では「成り立つ」が valid になります。
なので、「この[公式](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/57305/)が成り立つことを証明せよ」は Prove that this formula is valid になります。「公式」は formula で、「[証明](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/34958/)」は prove になります。Prove の代わりに show でも使えます。
ご参考になれば幸いです。
「成り立つ」は英語でいろいろな訳語があるが、この[数学](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/31166/)の例の場合は 'to hold up' が適切だと思います。
あげた例文にはこの言葉を使ってもいいです。
ですけどちょっと違った表現のほうが自然な英語になるかもしれないのでそれも紹介します。
「この公式が成り立つことを[証明](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/34958/)せよ」
を直訳すると
'Proof how this formula holds up.'
英語で数学の公式 (formula) について話すとよく 'to work' を使います。
たとえば
「この公式はどう成り立つのかを教えてください。」
'Please teach me how this formula works.'
数学の試験とかでよく出てくる英語表現であげた例文をいうと
「この公式が成り立つことを証明せよ」
'Please show how this formula works.'
そう言ったほうが自然な英語になります。
成り立つ は英語で使いにくい言葉になりますが、使ってみれば、使い方が分かります。
To hold up と to stand up は「可能な」のような意味があります。論理を表す言葉（理論・推論）につきます。
例：Does this theory hold up?
To hold water は 話 についてよく使われています。
例：Does his story hold water? 彼の今の話、本当かどうかな。
Work は英語で、いろいろな使い方もあります。この文に「成り立つ」と同じです。
この公式が成り立つことを証明せよ。
Prove how this formula (actually) works.
Show your work.
どちらも「この公式が成り立つことを証明せよ。」という時に使えると思います。
「公式」は formula と言います。
1) Show the proof for this formula.
直訳すると「この公式の真偽を示しなさい。」となります。
2) Show how this formula works.
「この公式がどのように成り立つか示しなさい。」
works の代わりに stands up も使えると思います。
ご参考になれば幸いです！
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