「アンテナをはる」ってすごく面白い表現ですよね。
keep your antenna up とそのまま英語にしても意味は通じると思いますが、より頻繁に使われている英語の表現を考えてみたところ、以外とたくさんありました：
1. constantly/always on the lookout: こちらの表現は、「常に周囲を見回している」という意味で、「アンテナをはる」に近いニュアンスを持っています。例えば、"She is always on the lookout for new trends."は「彼女は新しいトレンドに常にアンテナをはっている」と言えます。
2. keep an eye out/open for 〜: こちらも「～のために目を光らせる」という意味で、「アンテナをはる」に相当します。例えば、"Keep an eye out for deals."は「お得な情報にアンテナをはっておく」となります。
3. keep an ear to the ground: これは、「周囲の動きに注意深く耳を傾ける」という表現です。使い方としては、"He keeps his ear to the ground to catch the latest gossip."（彼は最新のうわさを聞きつけるためにアンテナをはっている）のようになります。
4. keep myself open to 〜: これは「自分を〜に開放する」や「自分自身を〜に感じやすくする」といった意味で、新しい情報などに対する受け入れ態勢を保つことを指します。例文としては、"I always keep myself open to new ideas."（私は常に新しいアイデアに対してアンテナをはっておく）となります。
おすすめは最初の２つの表現ですが、お好きなものを使うと良いと思います！
これはいわゆるイディオムですが、意味的には「（常に）注意深くいる・意識する」です。
例えば「（仕事の）募集情報を見逃さないようにする」と言いたい場合は
I'll keep my eyes open for any job openings.
このように、言葉通り「目を開けて」情報や警告などを逃さないようにする、というニュアンスがあります。
We should all keep our eyes open for new technological innovations.
私たちは技術の革新に対して意識し続けるべきだ。
参考までに（＾＾）
アメリカ合衆国 
日本 
