パニッシュって英語でなんて言うの？

ご質問にあるように "punish" は「罰する」や「懲らしめる」という意味の動詞になります。

"Despite public sentiment, he needs to be punished according to the law."
「世論がどうであろうと、彼は法規に基づいて処罰されなければならない」

"Don't punish your dog for barking, he's only a puppy."
「吠えているからってあなたの犬をこらしめないで。まだ子犬でしょ」

＊ despite: 〜〜に関わらず
＊ public sentiment: 民心、世論
＊ need: 必要である
＊ punish: 罪を罰する、懲らしめる
＊ according to: 〜〜に基づいて
＊ law: 法律
＊ dog: 犬
＊ bark: 吠える
＊ only: 〜〜だけ、ただの〜〜
＊ puppy: 子犬

ご参考になれば幸いです。

hirokoさん

ご質問どうもありがとうございます。

罰は英語で「punishment」であり、パニッシュは動詞で、「to punish someone」のままです。
様々な表現があると思いますが、いくつ自然な表現を紹介します。

• "Crime and Punishment" is a world-famous novel written by the Russian author Dostoevsky.
• In the 19th century, feminists were still being punished by society for standing up for their rights.

--- to stand up for = ～に味方する、 ～の権利、～が信じていることを守る

お好みに合わせて使い分けてみてください。
ご参考にしていただければ幸いです。