〜に染まるって英語でなんて言うの？

「文化に染まる」という場合は次のように言えると思います。
to become enculturated（文化になる）
to be absorbed in the culture of ...（…の文化に吸収される）

例：
I have become absorbed in the culture of Osaka since I moved here.
「大阪に引っ越してきて以来、大阪の文化に染まってしまった。」

ご参考まで！

こんにちは！
ご質問ありがとうございます。

先のアンカーさんが回答されておりますので、ここでは他の例を挙げてみます。

Since I started to live in Osaka, I’ve really embraced the local culture.
とすると、「大阪に住み始めてから、大阪の文化に染まっている。」となります。

役に立ちそうな単語とフレーズ
local culture 地域文化

参考になれば幸いです。