I have an English lesson with my tutor on Monday, so I won't be there.
何の休みの連絡かなど、詳しい状況がわかりませんが、次のように言えると思います。
ーI have a tutor coming so I can't make it.
「家庭教師が来るので、都合をつけることができません」
I have a tutor coming で「家庭教師が来る」
tutor で「家庭教師」
can't make it で「都合をつけることができない・出席できない」
ーI have an English lesson with my tutor on Monday, so I won't be there.
「月曜日は家庭教師と英語のレッスンがあるので、行けません」
I have a 〇〇 lesson with my tutor で「家庭教師とレッスンが入っている」のように表現できます。
ご参考まで！
I have a tutoring session.
I have a private lesson with my tutor.
「家庭教師があります」という場合、英語では **tutor**（家庭教師）や **tutoring session**（家庭教師の授業）を使います。日本語だと「家庭教師がある」とシンプルに言えますが、英語では「授業（session）がある」「家庭教師とのレッスンがある」と表現するのが自然です。
カナダ 
アメリカ合衆国 
