最初の言い方は、The link to the youtube video は、アドレス送ったyoutubeの動画と言う意味として使われていました。
最初の言い方では、link は、アドレスと言う意味として使われています。例えば、Have you watched the youtube video the one I sent you the link to? アドレス送ったyoutubeの動画を見てくれましたか？と言う意味として使われていました。
二つ目の言い方は、The youtube video I shared with you は、私が共有したyoutubeの動画と言う意味として使われていました。
二つ目の言い方では、shared は、共有したと言う意味として使われています。
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Did you watch the YouTube video I sent you the link for?
Did you watch the YouTube video I sent you the link for?
『私があなたにリンクを送ったYouTubeの動画は見てくれましたか？』
ここで「アドレスを送ったYouTubeの動画」の部分は、 the YouTube video I sent you the link for という表現になっています。
the YouTube video：YouTubeの動画（特定の動画を指すので the を使います）
アメリカ合衆国 
