Please don't let your dog go to the bathroom here.
Please don't let your dog (go) pee or poop around here.
直接的伝えるにしても、どこかに書くのでも、次のように言うのが自然で良いでしょう。
ーPlease don't let your dog go to the bathroom here.
「犬にここで排泄させないでください」
ーPlease don't let your dog (go) pee or poop around here.
「犬にこの辺りで糞尿させないでください」
ご参考まで!