英語でスポーツセンターと言っても通じますよ。
または次のような言い方もできます。
ーcity sports complex
（体育館以外の施設もある）
ーmunicipal gymnasium
例：
There's a brand new municipal gymnasium where I live which also has a swimming pool and tennis courts next to it.
「私の住むところに新しい市営体育館があり、プールとテニスコートも横にある」
ご参考まで！
・municipal「市営の、地方自治体の」
公共の施設であることを正確に伝える際に使われる、少しフォーマルで専門的な単語です。市役所を City Hall と言うように、市営体育館を Municipal Gym と呼ぶのが正確な表現です。
・gymnasium「体育館」
日常会話では gym と略されることがほとんどです。学校の体育館だけでなく、公共の運動施設全般を指すことができます。
カナダ 
アメリカ合衆国 
