駅伝はSushiやKaroshiと同じく英語にもなっています。説明するならa road relayです。後は距離を言ったりルールを説明すればいいでしょう。日本の文化の産物でしょうかね。
例：
Are you going to watch the ekiden this weekend?
今週末の駅伝は見ますか？
An ekiden is like a road relay.
駅伝はroad relayのようなものです。
Hakone-Tokyo intercollegiate long distance relay race
Hakone-Tokyo intercollegiate long distance relay race
「箱根大学対抗駅伝」
毎年観てます。世界の陸上競技の全てを知り尽くしているわけではないので確信を持って言えないのですが、世界でそれほど普及しているスポーツではないのと、日本発祥のスポーツのようなので、英語だとEkidenでもいいと思います。ただ説明は必要ですね。a long-distance relay raceとするのが一番近い表現。
箱根駅伝は大学対抗なのでintercollegiate (大学対抗の)という語を入れてより近い表現にしました。
「たすき」はsashと言います。「区間」はsectionが近い言い方です。
「駅伝の走者はたすきをかけ、次の走者にたすきを渡す」
Ekiden is a relay race where runners wear a team sash and hand it to the next runner.
「駅伝」の英語は、既に回答されているアンカーの説明を参照してください。
駅伝に関連する表現：
「駅伝に出る」
participate in a road relay
run a long-distance relay
例：
I am going to run a long-distance relay this winter.
「この冬に駅伝に出場します。」
「ランナーを応援する」
cheer for runners
例：
I am going to cheer for the runners of the Hakone Ekiden along the street.
「箱根駅伝の走者を沿道で応援します。」
日本 
