自己紹介= literal translation of self-introduction
May I introduce myself first? = Most simple and direct way to ask. "May" is usually for making polite requests or offering help.
Shall I start introductions with my own? = Localization. "Shall" is use for future tense and in this case used for to make suggestions or offers. This sentence is better for group conversations.
Allow me to introduce myself first? = "Allow" is similar to "May" in use.
自己紹介= self-introductionの直訳です。
May I introduce myself first?
これはいちばんシンプルで直接的な聞き方です。
"May"はお願いをするときや、お手伝いを申し出ることを丁寧に言うために使われます。
Shall I start introductions with my own?
（私の自己紹介を始めさせてもらってもいいですか？）
"Shall"は未来系や提案、オファーする際に使われます。
この文章は集団においての会話等により適しているでしょう。
Allow me to introduce myself first?
（最初に私が自己紹介をしてもいいですか？）
= "Allow（～を許す）"は"May（～してもいいですか？）"として使うのに似ています。
You can say :
May I introduce myself first?
Let's have introduction. May I go first?
I would like to introduce myself first.
Allow me to introduce myself first.
以下の様に表現する事ができます：
May I introduce myself first?
（最初に私が自己紹介をしてもいいですか？）
Let's have introduction. May I go first?
（自己紹介しましょう。私からいいですか？）
I would like to introduce myself first.
（私は自己紹介を最初にしたいと思います。）
Allow me to introduce myself first.
（まずは自己紹介をさせてください。）
With the introductions, is it alright if I go first?
"May I....." We use this structure when asking someone politely permission to do something.
"May I go with you to the station.?"
"Is it alright if ...." Here you are making a suggestion and at the same time checking with the listener that they are in agreement.
"Is it alright if we bring the children to your place this evening?"
"Is it alright if my son stays at your house tomorrow for a couple of hours after school?
"May I....." （～してもいいですか）は、丁寧に許可を求めるときに使う表現です。
例文
"May I go with you to the station?"
（駅まであなたと一緒に行っていいですか？）
"Is it alright if ...." （～でも大丈夫ですか）は、提案をしつつ、相手が同意しているか確認するときの表現です。
例文
"Is it alright if we bring the children to your place this evening?"
（今晩あなたのところに子供を連れていっても大丈夫ですか）
"Is it alright if my son stays at your house tomorrow for a couple of hours after school?
（明日学校が終わってから数時間の間、私の息子があなたの家にいても大丈夫ですか）
1. May I introduce myself first?
This is a polite way of asking the teacher to introduce yourself first.
2. Can I introduce myself first?
This is asking the teacher to introduce yourself before the teacher introduces himself or herself.
The difference between "may I" and "can I"
The only difference between the two verbs is that one is more polite than the other. In informal contexts it's perfectly acceptable to use can; in formal situations it would be better to use may.
1. May I introduce myself first?
（先に自己紹介してもいいですか？）
これは、自己紹介をあなたが先にしたいという丁寧な表現です。
2. Can I introduce myself first?
（先に自己紹介をしてもいいですか？）
これもまた、先生より先に自分が自己紹介してもいいかと尋ねる表現です。
"may I" と "can I"の違い
この二つの助動詞の違いは丁寧さの度合いが少し違います。
砕けた口調の場合"can"を使います。
フォーマルな場合は"may"使った方がいいでしょう。
▪ I will introduce myself first.
This is telling your teacher that you will introduce yourself first before he/she does.
▪ Can I go ahead and introduce myself first?
This is being polite and asking if you can start by introducing yourself first.
▪ I will introduce myself first.
（私が最初に自己紹介をします）
これはあなたが最初に自己紹介をしてその後に先生に自己紹介をしてくださいという意味になります。
▪ Can I go ahead and introduce myself first?
（私が先に自己紹介をしてもいいですか？）
これはあなたが先に自己紹介したいと丁寧に伝える表現です。
When it comes to our introduction, during online lessons...May I start?
It is polite to ask " if you may... Do something...instead of assuming you have the right "to go first"...in this case:
"When it comes to our introduction, during online lessons...May I start?"
この場合は...「may」を使うと丁寧です...許可を求める言い方です。
オンラインレッスンの自己紹介では..."May I start?"（私、いいですか）
フィリピン 
南アフリカ 
イギリス 
カナダ 
アメリカ合衆国 
