私用って英語でなんて言うの？

上記の「私用で休む」の「私用」は"personal reasons"と言います。

例 I would like to take tomorrow off for personal reasons「私用で明日休みたいです」

「自分のために使う」という意味の「私用」は"private use"などと言います。

＜ボキャブラリー＞
for personal reasons = 私用で
personal = 個人的な
reason(s) = 理由

単なる追記ですが、ウチの会社(Seneca Niagara Casino)では、個人的な理由でとる1日休暇を
Personal leave
といってます