They want others to recognize that they have a reason to live life.
「存在意義」は the meaning of life によく訳されますが「自分が居る・存在している理由や生きがいがある」のことを言いたいかもしれないから They want others ... に訳しました。
they は「障害している人々」。others は「他人」ですが「他の人」と意味します。
「認めてもらいたい」を英語的な「認めて欲しい」と訳したので They want others to recognize... になりました。
「何を認めて欲しい」の答えとして「生きがいがある・生きている意味がある」となり、that they (障害者）have a reason to live life. になります。
そう言う意味を伝えたかったでしたか？
ご参考になれば幸いです！
They want people to acknowledge their purpose to live
They want people to approve their meaning to exist
存在意義を認めてもらいたい と言いたい場合は
「They want people to acknowledge their purpose to live 」
Acknowledge＝認める Purpose to live＝存在意義・生きている意味
「They want people to approve their meaning to exist 」
Approve＝認める Meaning to exist＝存在する理由・意義
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