"Ascend to the throne."
「王位を継承する」
"We must carry on the tradition."
「伝統を継承していかなければならない」
"I succeeded my father's business after his death."
「父の死後、私が父の事業を継承しました」
ご参考になれば幸いです。
「継承」は英語で
succeed to
もしくは
inherit
と言います。
inheritの場合、遺産の意味が大きく、家名や家業、もしくは遺伝などの継承もinheritで表現できます。
The names of Kabuki actors inherit something successively.
「歌舞伎役者の屋号は代々継承する」
I am inheriting the family business.
「私が家業を継ぐことになっている」
お役に立てば幸いです。
「継承」という言葉を英語で表すと、「inheritance」という言葉も「succession」という言葉も使っても良いと考えました。この二つの言葉は名詞です。動詞は「inherit」と「succeed」です。「Succeed」は「果せる」という意味もあります。例えば、「The prince will succed the throne next month.」という文章を使っても良いです。「Prince」は「王子」という意味があって、「throne」は「王位」という意味があります。「Next month」は「来月」という意味があります。
日本 
アメリカ合衆国 
