憑依って英語でなんて言うの？

「役が憑依している」ということは「役になりきっている」と考えることができます。
したがって「役に徹する、なりきる」という意味の get into the character を使って表現できます。
She got into character completely.
「彼女は完全に人物になりきっていた」

霊が憑依するの「憑依する」は possess といいます。ただ日本語での憑依のように役柄が憑依するというよりは、悪魔や悪霊に乗っ取られるというニュアンスで使われることが多いです。
She looked like being possessed by an evil spirit.
「彼女は悪霊に取り憑かれているように見えた」

憑依＝possess

役が憑依しているを英語に直訳すると不自然になるので「役」を具体的に説明するといいでしょう。

まるでリア王の霊が憑依しているようだった
It's like he was possessed by the spirit of King Lear.

単にit's like he/she is possesedといいますと、「悪魔」「悪霊」に憑依されているというニュアンスにとられかねません。