My hobbies are listening to music and writing lyrics.
「私の趣味は」というとき、あるいは「趣味はなんですか」と聞かれて答えるとき、訳文のようにmy hobbies are （趣味が一つだけの場合はmy hobby is)でもいいし、単にI like toでもいいです。
「歌詞」はlyricsです。lyricsは複数形ですが、歌詞は（例外もありますが）複数の言葉があってはじめて歌詞なので、常に複数形だと考えていいです。
表題の英訳は「My hobby is listening to music and writing lyrics」になります。
それでも、質問者様は訳文を書くのが趣味ですので、「My hobby is listening to western music and writing the lyrics out in Japanese」の方が正しいです。
素晴らしい趣味ですね。でも洋楽は西洋文化なので、日本語に完璧に訳すのは難しい（不可能？）と思いますが、頑張ってください。
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