上記の例は両方「指定する」の意訳で使えますが他の意味でも使えます。
「designate」は示す、任命する。「specify」は詳しく記すと言う意訳で使えます。
例
・Could you please use the designated paper to make copies?（指定された紙でコピーを作って頂けますか？）
・I designate you to be~（あなたを○○に任命します）
・Could your explanation be a little more specific?（もう少し詳しく説明してもらえますか？）
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