「私はいろんなゲームを楽しみながらプレイするのが好き」は英語で「I like having fun while playing various games」という意味があります。「I enjoy playing various games」はもっと自然だと思います。
いろな ーVarious
ゲーム ーGames
楽しみながら ーWhile having fun・Enjoying
プレイするのが好き ーLike to play
ご質問ありがとうございます。
まずは「ながら」の英語を紹介します。「ながら」はwhileと言います。whileの後に動詞を使ったら、必ずING形（現在進行形）を使わないといけません。例えば、I like to listen to music while studying. （勉強しながら音楽を聴くのが好き）です。他の訳し方はas I です。as I なら動詞の原形を使います。例えば、I like to listen to music as I study.（勉強しながら音楽を聴くのが好き）です。
ご参考いただければ幸いです。
アメリカ合衆国 
