新しく出てきた単語をノートにメモしてもいい？って英語でなんて言うの？

「単語」は「vocabulary」、「vocabulary words」または「words」で大丈夫です。
「Words」は複数形にしますが、「vocabulary」はそのままで単数でも複数でも使います。
「Vocabularies」はこの場合使いません。

Can I write down these new vocabulary words in my notebook?
新しい単語をノートにメモしてもいい？

「Can」の代わりに、「may」でも大丈夫です。

Can I have some time to write down the new words in my notebook?
新しい単語をノートに書くのに少し時間をいただいてもいい？

Can I ask you to wait while I write down the new words in my notebook?
新しい単語をノートに書きたいので、少し待ってもらっていいですか。

ご質問ありがとうございます。

「出てくる」はappearとかcome outとかcome upと言います。この話ではcome upが最もふさわしいと思います。come upの過去形はcame upです。

「〜してもいい」はmay Iと言います。そして、もっとカジュアルな言い方はis it OKとかcan Iです。

ご参考いただければ幸いです。