ーI'll write it in the chat box.
「チャットボックスに書きます」
to write ... in the chat box で「…をチャットボックスに書く」
ーI'll put my answer in the chat box too.
「答えをチャットボックスにも書きます」
to put one's answer in the chat box で「答えをチャットボックスに書く」とも言えます。
ご参考まで!
I'll type it in the chat box.
『それをチャットボックスにタイプします。』
「チャットボックス」はシンプルに the chat box や the chat と呼ばれます。
また、「チャットボックスにも書きます」を伝えるニュアンスを強調したい場合は、also や put を使うと自然です。
I'll also put it in the chat.
『チャットにもそれを入れます(書きます)。』