I started my studies as a graduate student last month.
I began my graduate studies from last month.
ご質問ありがとうございます。
① "I started my studies as a graduate student last month."=「先月、大学院生として勉強を始めました。」
② "I began my graduate studies from last month."=「先月から、大学院の勉強を始めました。」
他にも少し意訳になりますが:
"I became a graduate student last month."=「先月、大学院生になりました。」
ご参考に。