お互いに自己紹介をしていただきたいですって英語でなんて言うの？

この場合は、次のように言うとよいと思いますよ。

ーTo start off please introduce yourselves to one another.
「はじめにお互いに自己紹介をしてください」

ーWhy don't you start by telling each other your names and a little bit about yourselves?
「自分の名前と自分について少し、お互いに言い合うことから始めましょうか」

introduce yourselves to one another を使ったおきまりの言い方の他にも、tell each other your names and a little bit about yourselves という言い方も覚えておくと良いですよ！

ご参考まで！