Before we get started with the next lesson material, could you briefly take a look at my English writing and make corrections?
こんにちは！
ご質問ありがとうございます。
"Before we get started with the next lesson material,"＝「次のレッスン教材を始める前に、」
"could you briefly take a look at my English writing and make corrections?"＝「私が英語で書いたものをサッと見て、添削してくれますか？」
ご参考になると幸いです。
Do you mind making a few quick corrections on this paper?
この場合、次のようにお願いすることができますよ。
ーCould you correct this paper quickly?
「この英作文をさっと添削してもらえませんか？」
to correct ... quickly を使った言い方。
ーDo you mind making a few quick corrections on this paper?
「この英作文をさっと添削してもらっても良いですか？」
to make a few quick corrections を使っても言えます。
例：
Could you correct this paper quickly before we move on to the next material?
「次の教材に進む前に、この英作文をさっと添削してもらえませんか？」
ご参考まで！
アメリカ合衆国 
カナダ 
