こちらの機械でチェックインをお願い致します。って英語でなんて言うの？

この場合、次のような言い方ができますよ。

ーPlease use this machine to check in.
「この機械を使ってチェックインしてください」

ーYou can use this machine to check in.
「チェックインするのにこの機械を使えますよ」
この言い方は、チェックインは機械でもいいし、フロントデスクでもいいですよというニュアンスです。

ご参考まで！