電話でたらい回しにされたって英語でなんて言うの？

状況によって使われる表現や言い方が変わると思いますが
以下の4つの文を例に挙げます。

They kept transferring me around to different departments.
They transferred me around to different agents.
They gave me the runaround.
I got the runaround.

まず最初に挙げた二つの例文ですが、

They kept transferring me around to different departments.
They transferred me around to different agents.

ご質問の説明にあるように
違う人や部署に何度も回された状況を説明しています。

たらい回しという表現を使いたい場合は以下の

They gave me the runaround.
I got the runaround.

が近いかもしれません。

この文では「たらい回しにされた」を
be sent aroundで表現しています。

ニュアンスとしては「あちこちに送られた」
という感じです。

後半部分は、they sent me around some departments
と表現しても同じ意味になります。

参考になれば幸いです。