A/The puppy which had dropped down the drain was rescued with mud all over (its body).
私も動物好きですので、こういったニュースは、感動もので、うれしいですね。(ちょっと心が痛くなりますが…)
なにはともあれ、
子犬 は puppy
落ちる は、drop (ここでは、落ちたのは、救出されたのより前のことですので、過去完了として、which had dropped down the drain となり、それ全体が、前のpuppy に、かかって=修飾しています。
なお、which(関係代名詞)は、that としても可)
排水溝 は drain
救出する は rescue (ここは「救出される」ですので、受け身)
泥まみれになって は with mud all over (its body) (mud は「泥」)
(ここでは性別がわかりませんので、its body としましたが、わかっている時は、動物でもhis body, her body などのようにすることが多いです)
ですので、
「排水口に落ちた子犬が泥まみれになって救出された」 は
A/The puppy which had dropped down the drain was rescued with mud all over (its body).
ご参考になりましたら幸いです。