（刻印で）「◯月◯日生まれ」って英語でなんて言うの？

誕生日の記念でしたらよくあるのは

Happy Birthday ●●
月/日

です。 born と書いてもいいんですが、特にいらないと思います。

ちなみに年まで入れる場合、アメリカでは 月/日/年の順で書く機会が多いです。日本では年/月/日なので、慣れないうちは間違えて書いてしまう人も多いと思います。
世界的には年/月/日が多く、アメリカでもそのような書き方をするところも少しずつ出てきていると聞きます。そして、またややこしいことに日/月/年のところもあります。
海外で文書を書くときは、かならず確認してください。
大体は mm/dd/yyyy
m＝month 「月」
d＝day「日」
y＝year 「年」
というように指示がされています。

刻印は英語で engraveと言います。

「◯月◯日生まれ」は誕生日のことなのでbirthdayと訳しました。

「誕生日」ではなく、「◯月◯日生まれ」の表現を生かすのであれば born を
使います。

I want to engrave "born January 1st, 1990" on the glass.
グラスに「1990年1月1日生まれ」と刻印したい。

他にもengraveできそうなもので例文を書いてみました。

I want to engrave my name on a pen.
ペンに自分の名前を刻印したい。

He gave me a ring with our anniversary engraved on it.
彼は記念日を刻印した指輪をくれました。

参考になれば幸いです。