刻印は英語で engraveと言います。
「◯月◯日生まれ」は誕生日のことなのでbirthdayと訳しました。
「誕生日」ではなく、「◯月◯日生まれ」の表現を生かすのであれば born を
使います。
I want to engrave "born January 1st, 1990" on the glass.
グラスに「1990年1月1日生まれ」と刻印したい。
他にもengraveできそうなもので例文を書いてみました。
I want to engrave my name on a pen.
ペンに自分の名前を刻印したい。
He gave me a ring with our anniversary engraved on it.
彼は記念日を刻印した指輪をくれました。
参考になれば幸いです。