I'll leave once I've hung out the laundry, so (please) go on ahead.
I'll leave when I've finished hanging out the laundry, so (please) go on without me.
will という未来形は、今まさにしようとしていることを言うときにも使われます。
「意志未来」とも言われます。これはまさにそのパターンですね。
「洗濯物を干す」は、hang out the laundry と言えます。
go on ahead で「先に行く」、go on without me で「私の抜きで先に行く」という意味です。