搬入を開始してもいいですかって英語でなんて言うの？

例文１「家具を搬入し始めても良いですか？」
「搬入する」は bring in と言うことができ、「搬入を開始する」は start bringing in となります。

例文２「荷をおろし始めても良いですか？」
「荷をおろす」という意味の unload を使って言うこともできます。
things の代わりに furniture や、詳しくtable, chairs, dresser, sofaなどと言っても良いです。

ご参考になれば幸いです！

1番カジュアルな言い方は、3番目の
Can I start to carry in the furniture?
になりますと思います。
お役に立てたらうれしいです。