毎日たくさん単語覚えてるね！って英語でなんて言うの？

"doing well with ～"で"～を頑張っている"と訳すことが出来ます。
お子様や教え子様に褒める気持ちを込めて使用する場合には上記のようにdoingのあとに"really"を入れてあげると"本当によく頑張っている"となり、良いかと思います。

"Oh, you're remembering many new words every day! "
「毎日たくさんの新しい単語覚えてるね！」"to remember"は「覚える」という意味で、"new words"は「新しい単語」に相当します。

他にこのような言い方もできます：
"Good job on learning so many new words every day!"
「毎日たくさん単語習ってよくできているね」

参考になれば幸いです。