既に回答に出ていますが、「更新する」は、よくrenewを使います(^^♪
文章は、そのままOulaさんの文のままで良いと思います(^^)
あと、renewという単語が思いつかない場合、それでも簡単な単語だけで意味を伝えたければ、
I'd like to use the card for one more month.
「あと1カ月カードを使いたいのですが」
とジムの受付の人に言っても、
「更新」に当たる単語は使ってませんが、
「更新したい」ということは伝わるはずなので、更新してもらえるでしょう。
ご参考になれば幸いです(^^)