この場合では「write」の意味は「書く」だけではなく、「支払いする」という意味含めています。郵便で送るなら「send」でも使えます。
「I'll pay by check」でも言えますが、そうなら金額を言いません。「I'll pay by check for $49.29」「I'll pay with a check for $49.29」とはあまり聞いたことないです。でも小切手だったら「write」「send」の方がよく使われています。
でも最近デビットカードがあるので、小切手は前に比べて使われることは少ないです。